Использование математического языка для записи и обработки информации.
1. Понятие высказывания.
Высказывание – более сложное образование, чем имя. При разложении высказываний на части, мы всегда получаем те или иные име-на.
Понятие высказывания – термин математической логики, которым обозначается предложение в каком-либо языке (естественном, искусственном, формальном), рассматриваемое с точки зрения его истинности.
Высказывание считается истинным, если даваемое им описание соответствует реальной ситуации, и ложным, если не соответствует ей. "Истина" и "ложь" называются истинностными значениями высказывания.
Различают два вида высказываний:
• Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым, или элементарным
• Высказывания, которые получаются из нескольких элементарных с помощью логических связок принято называть сложными, или составными.
Элементарные высказывания обозначаются малыми буквами латин-ского алфавита: х, у, z, ..., а, b, с, ...; истинное значение высказывания цифрой 1, а ложное значение - буквой цифрой 0.
Если высказывание a истинно, то будем писать: а=1, а если a ложно, то, а=0.
Основные понятия:
• Суждение – это некоторое высказывание, которое может быть истинным или ложным.
• Утверждение – это суждение, которое требуется доказать или опровергнуть.
• Рассуждение – это цепочка взаимосвязанных суждений, фактов, общих положений и умозаключений, получаемых из других суждений по определенным правилам вывода.
• Дедукция – это рассуждения от общего к частному.
• Индукция – это рассуждение от частного к общему.
2.Логические операции над высказываниями
1. Отрицание.
Отрицанием высказывания x называется новое высказывание, которое является истинным, если высказывание ложно, и ложным, если высказы-вание x истинно.
Эта логическая операция соответствует в обыденной жизни частице «не».
Отрицание высказывания x обозначается и читается не x.
Пусть x высказывание. Так как тоже высказывание, то можно образовать отрицание высказывания , то есть высказывание , которое является двойным отрицанием высказывания x. Логические значения высказываний и x совпадают.
2. Дизъюнкция (логическое сложение).
Дизъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если хотя бы одно из высказываний x или y истинно и ложным, если они оба ложны.
Эта логическая операция соответствует союзу «или».
Дизъюнкция высказываний x, y обозначается x y и читается «x или y».
3. Конъюнкция (логическое умножение)
Конъюнкцией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y истинны, и лож-ным, если хотя бы одно из них ложно.
Эта логическая операция соответствует союзу «и».
Конъюнкция высказываний x, y обозначается и читается «x и y».
4. Импликация (логическое следование)
Импликацией двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается ложным, еслиx истинно, а y ложно, и истинным во всех остальных случаях.
Эта логическая операция соответствует словам «если…, то…».
Импликация высказываний обозначается x→y и читается «если x, то y» или «из x следует y». Высказывание x называется условием или посылкой, а высказывание y – следствием или заключением.
5. Эквиваленция.
Эквиваленцией или эквивалентностью двух высказываний x, y называется новое высказывание, которое считается истинным, если оба высказывания x, y либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях. Эта логическая операция соответствует словам «тогда и только тогда, когда». Эквиваленция высказываний x, y обозначается символом x↔y и читается «для того чтобы x, необходимо и достаточно, чтобы y» или «x тогда и только тогда, когда y».
3. Формулы логики высказываний
В логике высказываний различают следующие виды формул:
• Законы (тождественно-истинные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «истинно»;
• Противоречия (тождественно-ложные формулы) – формулы, которые при любых интерпретациях пропозициональных переменных принимают значение «ложно»;
• Выполнимые формулы – такие, которые принимают значение «истин-но» хотя бы при одном наборе значений истинности входящих в их состав пропозициональных переменных.
Основные законы классической логики высказываний представлены в Приложении 1.
Процедура разрешимости – метод, позволяющий для каждой формулы установить, является она законом, противоречием или выполнимой формулой. Самой распространенной процедурой разрешимости является метод истинностных таблиц. Однако он не единственный. Эффективным методом разрешимости является метод нормальных форм для формул логики высказываний. Нормальной формой формулы логики высказываний является форма, не содержащая знака импликации « ». Различают конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы. Конъюнктивная форма содержит только знаки конъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к конъюнктивной нор-мальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является противоречием. Дизъюнктивная форма содержит только знаки дизъюнкции « ». Если в формуле, приведенной к дизъюнктивной нормальной форме, встречается подформула вида , то вся формула в этом случае является законом. Во всех остальных случаях формула является выполнимой формулой.
4.Кванторы и предикаты.
Квантор — общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката и создающих высказывание.
«Предикат» с английского переводится как сказуемое. Формально предикатом называется функция, аргументами которой могут быть произвольные объекты из некоторого множества, а значения функции «истина» или «ложь». Предикат можно рассматривать как расширение понятия высказывания.
Логика предикатов, как и традиционная формальная логика, расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально – подлежащее, хотя оно может играть и роль дополнения) и предикат (буквально – сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).
Субъект – это то, о чем что-то утверждается в высказывании, а преди-кат – это то, что утверждается о субъекте. Логи¬ка предикатов – это расширение логики высказываний за счет использова¬ния предикатов в роли логических функций.
5.Формулы логики предикатов
В логике предикатов используется следующая символика:
1. Символы р, q, r, ... – переменные высказывания, принимающие два значения: 1 – истина, 0 – ложь.
2. Предметные переменные – х, у, z, ..., которые про¬бегают значения из некоторого множества М: х0, у0, z0, ... – предметные константы, то есть значения пред¬метных переменных.
3. Р(•), F(•) – одноместные предикатные перемен¬ные; Q(•,•,...,•), R(•,•,...,•) – n-местные предикатные пе¬ременные. Р0(•), Q0(•,•,…,•) – символы постоянных предикатов.
4. Символы логических операций: .
5. Символы кванторных операций: .
6. Вспомогательные символы: скобки, запятые.
Определение формулы логики предикатов.
1. Каждое высказывание как переменное, так и по¬стоянное, является формулой.
2. Если F(•,•,...,•) – n-местная предикатная перемен¬ная или постоянный предикат, а x1,х2, ..., хn – предмет¬ные переменные или предметные постоян-ные, не обяза¬тельно все различные, то F(x1, х2,..., хn) есть формула. В этой формуле предметные переменные являются свобод¬ными. Формулы вида 1 и 2 называются элементарными.
3. Если A и B – формулы, причем такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них свя¬занной, а в другой свободной, то слова есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в ис¬ходных формулах были свободными, являются свободны¬ми, а те, которые были связанными, являются связанными.
4. Если А – формула, то – формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле не меняется.
5. Если А(х) – формула, в которую предметная пере¬менная х входит свободно, то слова и являются формулами, причем предметная переменная в них входит связанно.
6. Никакая другая строка символов формулой не является.
Например, если Р(x) и Q(х,у) – одноместный и двухме¬стный предикаты, а q, r – переменные высказывания, то формулами будут слова:
Не является формулой слово: . Здесь нарушено условие п.3, так как в формулу переменная х входит связано, а в формулу Р(х) переменная х входит свободно.
Из определения формулы логики предикатов ясно, что всякая формула алгебры высказываний является формулой логики предикатов.
Значение формулы логики предикатов
О логическом значении формулы логики предикатов можно говорить лишь тогда, когда задано множество М, на котором определены входящие в эту формулу предикаты. Логическое значение формулы логики предикатов зависит от значения трех видов переменных, входящих в формулу:
а) переменных высказываний;
б) свободных предметных переменных из множества М;
в) предикатных переменных.
При конкретных значениях каждого из трех видов переменных формула логики предикатов становится высказыванием, имеющим истинное или ложное значение.
3. Если A и B - формулы, причем такие, что одна и та же предметная переменная не является в одной из них связанной, а в другой свободной, то слова есть формулы. В этих формулах те переменные, которые в ис¬ходных формулах были свободными, являются свободными, а те, которые были связанными, являются связанными.
4. Если А - формула, то – формула, и характер предметных переменных при переходе от формулы А к формуле не меняется.
5. Если А(х) - формула, в которую предметная переменная х входит свободно, то слова и являются формулами, причем предметная переменная в них входит связанно.
6. Никакая другая строка символов формулой не является.
Например, если P (x) и Q(х,у) – одноместный и двухме¬стный предикаты, а q, r – переменные высказывания, то формулами будут слова:
Всякая формула алгебры высказываний является формулой логики предикатов.
Основные формулы логики предикатов представлены в Приложении 2.
Математические методы обработки статистической информации
1.Генеральная и выборочная совокупности.
Основу статистического исследования составляет множество данных, полученных в результате измерения одного или нескольких признаков. Ре-ально наблюдаемая совокупность объектов, статистически представленная рядом наблюдений случайной величины, является выборкой, а гипотетиче-ски существующая (домысливаемая) – генеральной совокупностью. Генеральная совокупность может быть конечной (число наблюдений N = const) или бесконечной (N = ∞), а выборка из генеральной совокупности – это всегда результат ограниченного ряда наблюдений. Число наблюдений, образующих выборку, называется объемом выборки. Если объем выборки достаточно велик (n → ∞) выборка считается большой, в противном случае она называется выборкой ограниченного объема. Выборка считается малой, если при измерении одномерной случайной величины объем выборки не превышает 30 (n <= 30), а при измерении одновременно нескольких (k) признаков в многомерном пространстве отношение n к k не превышает 10 (n/k < 10). Выборка образует вариационный ряд, если ее члены являются порядковыми статистиками, т. е. выборочные значения случайной величины Х упорядочены по возрастанию (ранжированы), значения же признака называются вариантами.
Основные способы организации выборки
Достоверность статистических выводов и содержательная интерпрета-ция результатов зависит от репрезентативности выборки, т.е. полноты и адекватности представления свойств генеральной совокупности, по отношению к которой эту выборку можно считать представительной. Изучение статистических свойств совокупности можно организовать двумя способами: с помощью сплошного и не сплошного наблюдения. Сплошное наблюдение предусматривает обследование всех единиц изучаемой совокупности, а не сплошное (выборочное) наблюдение – только его части.
Существуют пять основных способов организации выборочного наблюдения:
1. Простой случайный отбор, при котором объектов случайно извлекаются из генеральной совокупности объектов (например, с помощью таблицы или датчика случайных чисел), причем каждая из возможных выборок имеют равную вероятность. Такие выборки назы-ваются собственно-случайными;
2. Простой отбор с помощью регулярной процедуры осуществляется с помощью механической составляющей (например, даты, дня недели, номера квартиры, буквы алфавита и др.) и полученные таким способом выборки называются механическими;
3. Стратифицированный отбор заключается в том, что генеральная совокупность объема подразделяется на подсовокупности или слои (страты) объема. Страты представляют собой однородные объекты с точки зрения статистических характеристик (например, население делится на страты по возрастным группам или социальной принадлежности; предприятия – по отраслям). В этом случае выборки называются стратифицированными (иначе, расслоенными, типическими, районированными);
4. Методы серийного отбора используются для формирования серийных или гнездовых выборок. Они удобны в том случае, если необходимо обследовать сразу "блок" или серию объектов (например, партию товара, продукцию определенной серии или население при территориально-административном делении страны). Отбор серий можно осуществить собственно-случайным или механическим способом. При этом проводится сплошное обследование определенной партии товара, или целой территориальной единицы (жилого дома или квартала);
5. Комбинированный (ступенчатый) отбор может сочетать в себе сразу несколько способов отбора (например, стратифицированный и случайный или случайный и механический); такая выборка называется комбинированной.
Виды отбора
По виду различаются индивидуальный, групповой и комбинированный отбор. При индивидуальном отборе в выборочную совокупность отбираются отдельные единицы генеральной совокупности, при групповом отборе - качественно однородные группы (серии) единиц, а комбинированный отбор предполагает сочетание первого и второго видов.
По методу отбора различают повторную и бесповторную выборку.
По своей природе распределения бывают непрерывными и дискретными. Наиболее известным непрерывным распределением является нормальное. В зависимости от вида распределения и от способа отбора единиц совокупности по-разному вычисляются характеристики параметров распределения. Основные из них для теоретического и эмпирического распределений приведены в Приложении 3(таблица 1,2).
В Приложении 4 описаны вариационный ряд и его статистические оценки, а так же полигоны и гистограммы.
